Distribución binomial
Una distribución binomial o de Bernoulli tiene las siguientes características:
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: éxito y fracaso.
2.La probabilidad de éxito es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.
2.La probabilidad de fracaso también es constante, Se representa por q,
q = 1 − p
3.El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
4.La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en las n pruebas. Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2, 3, 4, ..., n.
La distribución bimomial se expresa por B(n, p)
Cálculo de probabilidades en una distribución binomial
n es el número de pruebas.
k es el número de éxitos.
p es la probabilidad de éxito.
q es la probabilidad de fracaso.
El número combinatorio
Ejemplo
La última novela de un autor ha
tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la
han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leido la novela 2 personas?
n = 4
p = 0.8
q = 0.2
B(4, 0.8)
2.¿Y al menos 2?
Parámetros de la distribución binomial
Media
Varianza
Desviación típica
Ejemplo
La probabilidad de que un artículo
producido por una fabrica sea defectuoso es 0.02. Se envió un cargamento
de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de
artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.
Distribución de probabilidad con variables aleatorias continúas
Dada una variable aleatoria , su función de distribución, , es
Por simplicidad, cuando no hay lugar a confusión, suele omitirse el subíndice y se escribe, simplemente, . Donde en la fórmula anterior:
- , es la probabilidad definida sobre un espacio de probabilidad y una medida unitaria sobre el espacio muestral.
- es la medida sobre la σ-álgebra de conjuntos asociada al espacio de probabilidad.
- es el espacio muestral, o conjunto de todos los posibles sucesos aleatorios, sobre el que se define el espacio de probabilidad en cuestión.
- es la variable aleatoria en cuestión, es decir, una función definda sobre el espacio muestral a los números reales.
Propiedades
Como consecuencia casi inmediata de la definición, la función de distribución:- Es una función continua por la derecha.
- Es una función monótona no decreciente.
Para realizar cálculos es más cómodo conocer la distribución de probabilidad, y sin embargo para ver una representación gráfica de la probabilidad es más práctico el uso de la función de densidad.
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