Variable Aleatoria Discreta EJERCICIOS

 EJERCICIOS RESUELTOS

1.- La probabilidad de que un reloj salga de fábrica defectuoso es del 4 %. Halla:a)
A)El número de relojes defectuosos esperados en un lote de 1000b)
B)La varianza y la desviación típica.


( Solución: 40 y 6,19)

2.- Una determinada raza de perros tiene 4 cachorros en cada camada. Si la p
robabilidadde que un cachorro sea macho es de 0,55, se pide:a)

La probabilidad de que en una camada dos exactamente sean hembrasb)

Probabilidad de que en una camada al menos dos sean hembras.
(Solución: 0,3675; 0,609 )




3. Un artesano ha elaborado 7 colchas de una etnia indígena 2 de ellas tienen algún defecto. Un turista compra 3 de estas colchas. Sea el número de colchas defectuosas. Hallar la distribución de probabilidad de X:
Datos:

                5 buenas

n = 7       2 defectuosas
r = 3
X = Numero de colchas defectuosas
X = 0, 1, 2
 
 
 



función de Probabilidad
X = Xi
0
1
2
P (Xi)
2/7
4/7
1/7
Función de Distribución Acumulada
X
P(X)

F(X)
0
2/7
0 + 2/7 = 2/7
1
4/7
2/7 + 4/7 = 6/7
2
1/7
6/7 + 1/7 = 1
Media
µ = (0)(2/7) + (1)(4/7) + (2)(1/7) = 6/7
Varianza
V(x)= (0 – 6/7)2(2/7) + (1-6/7)2 (4/7) + (2-6/7)2 (1/7)= 20/49 = 0.40816
Desviación Estándar

σ =    0.40816    = 0.6388



La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X esta dad por:

  















 Función de probabilidad
X = Xi
1
2
3
4
5
6
7
8
P (Xi)
2/28
3/28
4/28
5/28
4/20
3/20
2/20
1/20

Función de Distribución Acumulada
X
P(X)
F(X)
1
2/28
0 + 2/28 = 2/28
2
3/28
2/28 + 3/28 = 5/28
3
4/28
5/28 + 4/28 = 9/28
4
5/28
9/28 + 5/28 = 14/28
5
4/20
14/28 + 4/20 = 14/20
6
3/20
14/20 + 3/20 = 17/20
7
2/20
17/20 + 2/20 = 19/20
8
1/20
19/20 + 1/20 = 1
Media
µ = (1)(2/28) + (2)(3/28) + (3)(4/28) + (4)(5/48) + (5)(4/20) + (6)(3/20) + (7)(2/20) + (8)(1/20)  = 129/28
Varianza
V(x)=(1-129/28)2(2/28)+(2-129/28)2(3/28)+(3-129/28)2(4/28)+(4-129/28)2(5/28)+(5-129/28)2(4/20)+
(6-129/28)2(3/20)+(7-129/28)2(2/20)+(8-129/28)2(1/20)= 57/16 = 3.5625
Desviación Estándar

σ =       3.5625      =  1.887


4. Una variable aleatroria discreta X tiene la función de probabilidad f(x) donde

F(x)=  k(9-x)                                  si x= 5, 6, 7, 8
0                                                           en otro caso
a) Determine K, b) encuentre la media y la varianza de X
P(X=5) = k (9-5) = 4k
P(X=6) =k(9-6) =3k                                               
P(X=7) =k(9-7) =2k
P(X=8) =k(9-8) =1k
Sabemos  que:  10k = 1  entonces tenemos que:
 k = 1/10
función de Probabilidad
X
5
6
7
8
P (X)
4/10
3/10
2/10
1/10
Función de Distribución Acumulada
X
P(X)
F(X)
5
4/10
0+4/10 = 4/10
6
3/10
4/10+3/10 =7/10
7
2/10
7/10+2/10 =9/10
8
1/10
9/10+1/10 = 1

                    0       si   X < 5
                    4/10    si  5 ≤ X ≤ 6
F(X)            7/10    si  6 ≤ X ≤ 7
                     9/10   si  8 ≤ X ≤ 9
                    1       si X> 8
Media
µ = (5) (4/10)+ (6) (3/10)+ (7) (2/10)+(8) (1/10) = 6
Varianza
V(x)= (5 – 6)2(4/10) + (6-6)2 (3/10) + (7-6)2 (2/10)+ (8-6)2 (1/10) = 1


5. Sea X la variable aleatoria que representa la demanda semanal de una maquina de premios que esta puesta en un supermercado. La función de probabilidad para Z esta dada por,
         
F(x)=  x2-3x                             para x= 4, 5, 6, 7
              60                                  si x= 4, 5, 6, 7
Encuentre, a) la distribución acumulada, b) la desviación estándar,
 Función de Probabilidad
X
4
5
6
7
P (Xi)
4/60
10/60
18/60
28/60
P(X=4)= (4)2-3/4) = 4/60                        
                    60
P(X=5)= (5)2-3/5) = 10/60
                    60
P(X=6)= (6)2-3/6) = 18/60
                    60
P(X=7)= (7)2-3/7) = 28/60
                    60
Función de Distribución Acumulada
X
P(X)
F(X)
4
4/60
0+4/60 = 4/60
5
10/60
4/60+10/60 = 14/60
6
18/60
14/60+18/60 = 32/60
7
28/60
32/60+28/60 = 1
Media
µ = (4) (4/60) + (5) (10/60) + (6) (18/60) (7) (28/60) = 37/60
Varianza
V(x)= (4 - 37/60)2(4/60) + (5 – 37/60)2 (10/60) + (6 – 37/60)2 (18/60) + (7 – 37/60) (28/60)
V(x)=8.560
Desviacion Estándar
σ =    (8.560)1/2    = 2.925

6.- Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X como la suma de las puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabilidad, la esperanza matemática y la varianza.
 x p i x · p i x 2· pi
2 1/36 2/36 4/36
3 2/36 6/36 18/36
4 3/36 12/36 48/36
5 4 /36 20/3 6 100/36
6 5/36 30/36 180/36
7 6/36 42/36 294/36
     8      5/36 40/36 320/36
9 4 /36 36/36 324/36
10 3/36 30/36 300/36
11 2/36 22/36 242/36
12 1/36 12/36 144/36


7 54.83
media
media 
7.- Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego.
 x p i x· p i
+100 p 100/6
+ 200 p 200/6
+ 300 p 300/6
- 400 p -400/6
+ 500 p 500/6
-600 p - 600/6
          
100/6
µ =16.667 
8.- Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?
μ = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 € 
9.- Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:
x p i
0 0,1
1 0,2
2 0,1
3 0,4
4 0,1
5 0,1
10. Calcular, representar gráficamente la función de distribución.
f(x)
11. Calcular las siguientes probabilidades:
p (X < 4.5)
p (X < 4.5) = F (4.5) = 0.9
p (X ≥ 3)
p (X ≥ 3) = 1 - p(X < 3) = 1 - 0.4 = 0.6
p (3 ≤ X < 4.5)
p (3 ≤ X < 4.5) = p (X < 4.5) - p(X < 3) = 0.9 - 0.4 = 0.5

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