PROBABILIDAD CONDICIONAL

Sea d un espacio muestral en donde se ha definido un evento E, donde p(E)>0, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A (el que también es definido en el mismo espacio muestral), dado que E ya ocurrió, entonces deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional, la que se determina como se muestra;

Donde:

p(A½E) = probabilidad de que ocurra A dado que E ya ocurrió

p(AÇE) = probabilidad de que ocurra A y E a un mismo tiempo

p(E) = probabilidad de que ocurra E

Luego;

Por tanto:

Donde:

½AÇE½= número de elementos comunes a los eventos A y E

½E½= número de elementos del evento E

Luego entonces podemos usar cualquiera de las dos fórmulas para calcular la probabilidad condicional de A dado que E ya ocurrió.

EJERCICIOS RESUELTOS

FUNCION DE PROBABILIDAD PARA UNA VARIABLE ALATORIA DISCRETA

Las variables aleatorias pueden ser discretas y continuas. En el capítulo siguiente trataremos extensamente las variables aleatorias continuas (v. a. c.), pero de momento, con el objeto de visualizar la diferencia entre ellas, podemos decir que las discretas surgen generalmente al contar, mientras que las continuas aparecen cuando se mide.

na variable aleatoria continua teóricamente puede asumir cualquier valor entre dos límites dados, o sea que sus variaciones son infinitesimales, mientras que en las variables aleatorias discretas existen “saltos” o “interrupciones” entre los valores que puede tomar.

De acuerdo a lo anterior podemos decir que:

Una variable aleatoria X es discreta, si solamente puede tomar un conjunto numerable de valores.

Como ejemplos de variables aleatorias discretas podemos mencionar: el número de libros en una biblioteca, el número de habitantes en una población, la cantidad de dinero que una persona trae en su bolsillo, el número de aves en un gallinero, el número de admisiones diarias a un hospital, el número de accidentes automovilísticos en una carretera durante un año, etc.

Sea X una variable aleatoria asociada con un experimento aleatorio. Si el resultado de un experimento es a, entonces decimos que en esta prueba la variable aleatoria X ha tomado el valor a, o que hemos observado el valor X = a.

Una variable aleatoria tiene las siguientes propiedades:

1. La variable aleatoria X es un evento que se define en el espacio muestral S del experimento y sus valores son números reales.

2. Sea a cualquier número real y sea I cualquier intervalo de S. Entonces el conjunto de todos los valores para los que X = a tiene una probabilidad bien definida y lo mismo se cumple para todos los valores de X que están en I.

Ejemplo 4. 1. Sea el experimento de lanzar 3 veces una moneda y representemos por X el evento del número de caras que aparecen. Encontrar los valores que puede tomar la variable aleatoria.

Solución.

El espacio muestral de lanzar 3 veces una moneda es:

S = { ccc, cc+, c+c, +cc, c++, +c+, ++c, +++}

Si solamente nos interesa el número de caras que aparecen, entonces al punto muestral (+++) le corresponde el valor cero porque no hay ninguna cara, a cada punto muestral donde hay una cara (c++, +c+, ++c) le corresponde el valor 1 y así los demás puntos muestrales. Por lo tanto:

X(+++) = 0

(c++) = X(+x+) = X(++c) = 1

X(cc+) = X(c+c) = X(+cc) = 2

X(ccc) = 3

EJERCICIOS RESUELTOS

FUNCION DE PROBABILIDAD PARA UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
-TABULAR
-GRAFICA
-FUNCION DE PROBABILIDAD
Distribución aleatoria

Ejemplo de variable aleatoria

Lanzamos un dado perfecto 240 veces, anotamos el resultado obtenido en la cara superior obteniendo los siguientes resultados:

Distribución aleatoria discreta
Cara superior	1	2	3	4	5	6
Número de veces	40	39	42	38	42	39

1. Tabla de distribución de frecuencias

La tabla de distribución de frecuencias muestra los resultados obtenidos

2. Tabla de distribución de probabilidad

La tabla de distribución de probabilidad muestra los resultados esperados

3. Gráfica de las distribuciones

Distribución aleatoria discreta

En la gráfica de los valores esperados, observamos que a cada valor de la variables aleatoria xi "cara del dado" le hacemos corresponder su probabilidad teórica. A esta ley se le llama distribución de probabilidad.

CALCULO DE MADIA Y LA DESCIACION ESTANDAR.

En matemáticas y estadística una media o promedio es una medida de tendencia central que según la Real Academia Española (2001) «[…] resulta al efectuar una serie determinada de operaciones con un conjunto de números y que, en determinadas condiciones, puede representar por sí solo a todo el conjunto». Existen distintos tipos de medias, tales como la media geométrica, la media ponderada y la media armónica aunque en el lenguaje común, el término se refiere generalmente a la media aritmética.

La media estadística se usa en estadística para dos conceptos diferentes aunque numéricamente similares:

La media muestral, que es un estadístico que se calcula a partir de la media aritmética de un conjunto de valores de una variable aleatoria.
La media poblacional, valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria.

En la práctica dada una muestra estadística suficientemente grande el valor de la media muestral de la misma es numéricamente muy cercano a la esperanza matemática de la variable aleatoria medida en esa muestra. Dicho valor esperado, sólo es calculable si se conoce con toda exactitud la distribución de probabilidad, cosa que raramente sucede en la realidad, por esa razón, a efectos prácticos la llamada media se refiere normalmente a la media muestral.

Media muestral

La media resume en un valor las características de una constante teniendo en cuenta a todos los casos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas Media muestral: Si se tiene una muestra estadística de valores $(X_1,X_2,...,X_n)$ de valores para una variable aleatoria X con distribución de probabilidad F(x,θ) [donde θ es un conjunto de parámetros de la distribución] se define la media muestral n-ésima como: